A természetes számok N halmaza az összeadás és a szorzás műveletére zárt, vagyis a műveletek N-en belül elvégezhetők. Nem végezhető el azonban a kivonás és az osztás. A kivonás elvégezhetőségének az érdekében bővítsük ki N-et a 0-val és a negatív egészekkel. Az így előálló számhalmaz az egész számok halmaza, jelölése Z. Az osztás elvégzésének érdekében be kell vezetni a tört számokat, vagyis azokat a számokat, melyek két egész hányadosaként előállnak. Az így kapott számhalmaz a racionális számok halmaza, jelölése Q.

Q-ban az osztás is – a 0-val való osztás kivételével, de ezt mindig ki fogjuk zárni – elvégezhetÅ‘. Az alapműveletekre nézve zárt halmazt számtestnek nevezzük.

Már Euklidesz észrevette, hogy a racionális számok halmaza – bár a négy alapművelet mindig elvégezhetÅ‘ – nem elég bÅ‘, ugyanis az egységnyi oldalú négyzet átlójának a hossza racionális számmal nem adható meg. Tegyük fel ellenkezÅ‘leg, hogy , ahol p és q relatív prímek (vagyis a törtet nem egyszerüsíthetÅ‘ alakban írtuk fel), akkor 2q² = p². EbbÅ‘l látható, hogy p páros, legyen p = 2k. Ezt felhasználva q² = 2k², azaz q is páros, ami ellentmond a relatív prím tulajdonságnak.

Ha a racionális számhalmazt a -vel bővítjük, azaz képezzük az a+ b számok halmazát (a  Q, b  Q), akkor újra számtestet kapunk, azonban ez sem tartalmazza a -at, -öt, -t, stb. Ilyen konkrét bővítési lépésekkel nem jutunk célhoz.

A valós számok definiálása hasonlatos a geometriában az egyenes definiálásához: alapfogalomnak tekintjük, és a tulajdonságaival jellemezzük. A tulajdonságokat három csoportba soroljuk.

Műveleti szabályok. A valós számok tartalmazzák Q-t és számtestet akotnak. Definiálva van az összeadás és a szorzás művelete. Mindkét művelet kommutatív (a +b = b + a, ab =
= ba) és asszociatív (a + (b + c) = (a + b) + c és a(bc) = (ab)c ). A két műveletet a disztributív szabály köti össze: a(b + c) = ab + ac. Mindkét műveletnek van neutrális eleme: az összeadásnál ez a 0, a szorzásnál az 1, melyre a + 0 = a, a·1 = a. Mindkét műveletnek van inverz művelete: bármely a-hoz van olyan x, hogy a + x = 0, és ha a  0, akkor van olyan y hogy ay = 1. Az ilyen x-et – a-val, y-t -val jelöljük. A kivonás művelete a – b = a + (- b), az osztás művelete képlettel definálható.

Rendezés. A valós számok között < jellel jelölt rendezési reláció definiálható. Bármely
a  b számokra vagy a < b, vagy b < a teljesül (de mindkettő nem). A rendezési reláció tranzitív: ha a < b és b < c, akkor a < c. A rendezési reláció összhangban van a műveletekkel, vagyis a < b esetén bármely c-re a + c < b + c, és bármely c-re, melyre 0 < c, ac < bc.

Az egyenlőtlenségek kényelmesebb kezelése érdekében a > b ugyanazt jelenti, mint b < a, és
a  b azt jelenti, hogy vagy a < b, vagy a = b. Hasonlóan értelmezhető a  jel is.

Intervallumnak nevezzük azon valós számok halmazát, melyek két adott szám közé esnek. pontosabban az [a, b] zárt intervallum definíciója [a, b] = {x: a  x  b}, az (a, b) nyílt intervallum: (a, b) = {x: a < x < b}. Értelemszerűen definiálhatók az [a, b) és az (a, b] félig zárt intervallumok is, pl. [a, b) = {x: a  x < b}.

Teljességi axióma (Cantor): TetszÅ‘leges [a₁, b₁]  [a₂, b₂]  [a₃, b₃]  … fogyó, zárt intervallumokból álló sorozatra Ø.

Ez a tulajdonság fejezi ki, hogy a számegyenesről már további számok nem hiányoznak. Ez az axióma teszi lehetővé a valós számoknak végtelen tizedes törttel történő megközelítését, pontosabban azt, hogy egy végtelen tizedes tört tényleg megad egy valós számot.

Összefoglalva a valós számok a testaxiómáknak, a rendezési axiómáknak és a teljességi axiómának eleget tevő Q-t tartalmazó számhalmaz. Jelölése R. A valós számok halmazát számegyenesnek, 1-dimenziós Euklideszi térnek is nevezzük.

D. A valós számokból álló (x₁, x₂, …, x_n) szám n-esek halmazát n-dimenziós Euklideszi térnek nevezzük. Jelölése Rⁿ. (Az n-dimenziós terek szerkezetével késÅ‘bb fogunk foglalkozni.)