Az alábbiakban a sorozatok elemei valós számok.

D. Az a₁, a₂, a₃, … sorozat határértéke a, ha  > 0 számhoz n₀, hogy n  n₀ esetén

.

Jelölése a_n  a, vagy lim a_n = a. Ha félreérthető lenne, akkor feltüntetjük, hogy n  ∞ esetén.

P. Ha a_n = , akkor a_n  0. Válasszunk tetszőlegesen ε > 0-t, akkor biztosan teljesül, ha , vagyis n₀-t tetszőleges -nál nagyobb számnak lehet választani.

D. Az a₁, a₂, a₃, … sorozat konvergens, ha a, hogy a_n  a. A nem konvergens sorozatokat divergensnek is nevezzük.

D. Az a szám –sugarú környezetének ( > 0) az (a – , a + ) nyílt intervallumot nevezzük.

A határérték definíciójának az átfogalmazása a következő: a_n  a, ha az a S környezetéhez található olyan n₀ küszöbindex, hogy a_n  S, ha n  n₀.

Ugyancsak ekvivalens átfogalmazás a következő: a_n  a, ha a S környezete véges sok kivétellel a sorozat összes elemét tartalmazza.

T. Ha a_n  a, és a_n  b, akkor a = b. (A sorozatnak csak egy határértéke lehet.)

B. Tegyük fel, hogy a  b, mondjuk a < b. Válaszuk meg az -t úgy, hogy legyen. Ekkor a -sugarú környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza, de b -sugarú környezetén kívül csak véges sok eleme lehet a sorozatnak, ami ellentmondás.

D. Adott az a₁, a₂, a₃, … sorozat. Ha az n₁, n₂, n₃, … egész számokból álló sorozatra fennáll, hogy n₁ < n₂ < n₃ < … , akkor az sorozatot az a₁, a₂, a₃, … sorozat részsorozatának nevezzük.

T. Ha a_n  a, akkor minden részsorozata is a-hoz konvergál.

B. Vegyük a-nak egy tetszőleges S környezetét, akkor S-en kívülre az a₁, a₂, a₃, … sorozatnak csak véges sok tagja eshet, de akkor a részsorozatnak is csak véges sok tagja lehet kívül, ami a részsorozat az a-hoz való konvergenciát jelenti.

T. Konvergens sorozat mindig korlátos. (Pontosabban: az {a₁, a₂, a₃, …} halmaz korlátos).

B. Mivel adott -hoz n₀, hogy n > n₀ esetén |a_n – a| < , a sorozat n₀ utáni tagjaiból álló halmaz korlátos. Az n₀ előtti tagok véges halmazt alkotnak, de véges halmaz mindig korlátos.
D. a_n  +∞ (vagy lim a_n = +∞), ha c-hez n₀, hogy a_n > c, ha n  n₀. Ha a_n  +∞, akkor azt mondjuk, hogy határértéke plusz végtelen, de nem nevezzük konvergensnek a sorozatot (vagyis a sorozat divergens).

Ha azt mondjuk, hogy a sorozatnak létezik a határértéke, akkor mindig véges határértékre gondolunk, hacsak az ettől való eltérést nem hangsúlyozzuk.

A határérték definíciója egységesíthető, ha a +∞ környezeteit a (c, +∞) intervallumok alkotják. Ekkor az elmondott ekvivalens definíciók a +∞ esetére is érvényesek.